La ecuación de tercer grado

El término ecuación supongo que le será familiar a prácticamente cualquier persona, sea del ámbito científico o no. Para la comprensión de la presente entrada bastará con saber que una ecuación no es más que una combinación de operaciones en la que algún valor numérico es desconocido, los cuales se acostumbran a representar por letras (habitualmente la x). El grado de la ecuación hace referencia al mayor de los exponentes que aparecen en ese valor desconocido. Pues bien, algunas de estas diabluras matemáticas originaron una de las anécdotas más curiosas de la historia de la ciencia.

Niccolo Fontana, Tartaglia

Las ecuaciones de primer y segundo grado no implican excesiva dificultad. No en vano ya eran resueltas por los antiguos babilonios, allá por los siglos XVIII y XVII a.C. Hay que decir que su método carecía de las fórmulas que poseemos hoy en día, por lo que podía resultar algo más tedioso aunque igual de efectivo. El problema llegaría con las ecuaciones de tercer grado, para las cuales les fue imposible dar con un algoritmo con el que abordarlas todas. Resolvieron algún caso concreto, pero no el general. En su defensa hay que decir que dicho método no llegaría hasta más de 3000 años después.

Volamos en el tiempo y en el espacio y nos ubicamos ahora en la Italia del siglo XV, en pleno Renacimiento. La ciencia itálica estaba viviendo posiblemente su época de mayor auge, y es allí donde aparece el primer gran avance en la resolución de la ecuación de tercer grado a manos de Escipión del Ferro. Sin llegar a dar un método general, sí que logró resolver una amplia cantidad de estas ecuaciones (concretamente las que carecían de potencias cuadradas).

Antes de proseguir con la historia hemos de hacer notar que, en aquella época, al realizar un descubrimiento científico no era siempre habitual hacerlo público en busca de reconocimiento y gloria, sino que a veces se prefería ser la única persona conocedora de ese secreto, convirtiéndose en una especie de tesoro personal e intransferible. Del Ferro era de esta opinión y solamente desveló su gran descubrimiento en su lecho de muerte y únicamente a su mejor alumno y hombre de confianza, Antonio de Fior, matemático que jamás llegó a rozar el nivel de su maestro. El problema es que De Fior no tenía intención de ocultar su poder, y prefirió usarlo para retar a alguna de las mentes más brillantes de la época a un duelo matemático, algo muy común en esos años y que básicamente consistía en que dos científicos se proponían mutuamente una lista de problemas y buscaban la mayor resolución de ellos. Digamos que era una manera de medir el nivel de cada uno.

La fórmula para resolver ecuaciones de tercer grado

El matemático elegido para este duelo fue Niccolo Fontana, más conocido como Tartaglia, personaje algo más famoso actualmente, al menos entre los estudiantes de ciencias de grados superiores, por su "triángulo" para desarrollas potencias de un binomio. Ese sobrenombre, que en italiano significa "tartamudo", le vino debido a una grave herida en la cara provocada en una guerra. Niccolo quedó inconsciente durante varias horas y sólo el hecho de que un perro le estuviera lamiendo la sangre que brotaba de su cara evitó su muerte, aunque no su posterior tartamudez. A pesar de sus defectos físicos, era una de las cabezas mejor dotadas de su siglo, motivo por el que fue el escogido por De Fior, ya que superar a Tartaglia en un duelo lo coronaría, sin duda, como uno de los dos o tres mejores matemáticos del momento.

El reto propuesto, y que Tartaglia aceptó, consistió en treinta problemas que cada uno había resuelto previamente. Tartaglia optó por hacer un barrido por diversas ramas matemáticas, proponiendo una amalgama considerable de problemas, mientras que De Fior, qué duda cabe, proporcionó a su adversario una treintena de problemas que conducían, todos ellos sin excepción, a ecuaciones de tercer grado del tipo que su maestro le había enseñado a resolver. Era jugárselo todo a una carta: si Tartaglia lograba resolver esas ecuaciones, resolvería los treinta problemas, aunque De Fior no lo veía nada probable, tras tantos años sin que nadie conociera el método que tenía en sus manos.

Fijaron un día para volver a verse y en el que cada uno debería llevar los problemas que hubiera logrado resolver. Quizá sea una añadidura a la historia para hacerla más interesante, pero parece ser que, llegado el día previo al acordado, Tartaglia no había logrado dar con la manera de abordar las susodichas ecuaciones. Parece ser que esa misma noche, a punto de rendirse, logró dar con la técnica adecuada y, a pesar de no dormir ese día, acabó por resolver los treinta problemas de su adversario. Llegó el día de volver a verse y el resultado no pudo ser más apabullante: Taraglia 30 - De Fior 0. Éste último no había logrado dar con la solución a ninguno de los problemas. Parece ser que, además del propio honor, también se habían apostado treinta invitaciones a suculentos banquetes, parte del reto que Tartaglia, supongo que debido a la tremenda alegría que sentiría por su descubrimiento, perdono a su contrincante. Realmente lo que iba a afectar a De Fior no eran estas invitaciones, sino la evidencia de la humillante derrota, lo que hizo que desapareciera completamente del panorama científico y que Tartaglia ganara mayor fama si cabe.

Gerolamo Cardano

Pero la cosa no acabó aquíe, pues entonces entró en escena otro de los grandes de la época, Gerolamo Cardano. El famoso duelo y la flamante victoria de Tartaglia había llegado a sus oídos y, al parecer, tenía en danza varios importantes resultados inconclusos solamente a falta de lograr resolver ciertas ecuaciones de tercer grado. Comenzó entonces a enviar infinidad de cartas al ganador del reto pidiéndose el gran favor de proporcionarle su método, correspondencia que fue toda ella contestada negativamente. Pero, como bien sabemos, la elevada insistencia puede hacer, a veces, cambiar de opinión a la gente, y en una de las respuestas Tartaglia invitó a Cardano a visitarlo para que le informara sobre las teorías en que estaba trabajando.

Una vez en casa de Tartaglia, Cardano prosiguió con su insistencia hasta que logró que el primero accediera a proporcionarle la información que precisaba con una fuerte condición: que no debería trasmitir este saber a nadie, ni mucho menos publicarlo. De hecho, le hizo firmar un juramento prometiendo que cumpliría esa condición. Esto sucedió en 1539. Pues bien, en 1545 Cardano publica su obra Ars Magna en la que, entre otras muchas cosas, aparece el método que le había proporcionado Tartaglia seis años antes. Cierto es que en la obra especifica que esa parte se la contó dicho matemático, pero esto no satisfizo a Tartaglia, quien se enemistó de por vida con Cardano y blasfemó contra él hasta la saciedad. En cualquier caso, el método para resolver ecuaciones de tercer grado ya era público y ese misterio de tres milenios se había esfumado.

Apoyándose en este método no tardó mucho en lograr resolverse la ecuación de cuarto grado. Este honor le correspondió a Ludovico Ferrari, discípulo del propio Cardano. La de quinto grado se hizo de rogar hasta que llegara el noruego Abel quien, con sólo 22 años (afortunadamente, pues murió con 26), demostró que no existía un método general para resolver la ecuación de quinto grado ni las de grado superior, solamente se podrían resolver casos concretos, pero no hay una fórmula para estos grados. Así pues, con esto quedaba, de alguna manera, liquidado todo el asunto de las ecuaciones, al menos de las lineales, pues existen una multitud de titpos de ecuaciones (con raíces, con fracciones algebraicas, con logaritmos....), pero eso es otro tema bastante más complejo y, por supuesto, mucho menos curioso que el gran duelo entre Tartaglia y Antonio de Fior.